[BZOJ2005/Luogu1447][NOI2010]能量采集(莫比乌斯反演,数论分块)

发布于 2018-01-15  103 次阅读


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Description

栋栋有一块长方形的地,他在地上种了一种能量植物,这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后,栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。 栋栋的植物种得非常整齐,一共有n列,每列有m棵,植物的横竖间距都一样,因此对于每一棵植物,栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示,其中x的范围是1至n,表示是在第x列,y的范围是1至m,表示是在第x列的第y棵。 由于能量汇集机器较大,不便移动,栋栋将它放在了一个角上,坐标正好是(0, 0)。 能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有k棵植物,则能量的损失为2k + 1。例如,当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时,由于连接线段上存在一棵植物(1, 2),会产生3的能量损失。注意,如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物,则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。 下面给出了一个能量采集的例子,其中n = 5,m = 4,一共有20棵植物,在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。 在这个例子中,总共产生了36的能量损失。
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莫比乌斯反演,数论分块

题目大意

求\[\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} (2*gcd(i,j)-1)\]

解决思路

\[Ans=2* \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} gcd(i,j) -n*m\]
那么就是关键是求\[\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} gcd(i,j)\]
提取\(gcd(i,j)==d\),假设\(n < m\),那么有
\[\sum_{d=1}^{n} d * \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} [gcd(i,j)==d]=\sum_{d=1}^{n} \sum_{i=1}^{n/i} \sum_{j=1}^{m/d} [gcd(i,j)==1]\]
后面那一部分可以莫比乌斯反演一下,根据\[\sum_{i}^{n} \sum_{j}^{m} [gcd(i,j)==1] =\sum_{i=1}^{n} \mu(i) \lfloor \frac{n}{i} \rfloor * \lfloor \frac{m}{i} \rfloor \],式子可以化为
\[\sum_{d=1}^{n} d * \sum_{i=1}^{n/d} \mu(i) * \lfloor \frac{n/d}{i} \rfloor * \lfloor \frac{m/d}{i} \rfloor\]
这样,可以外层与内层两次数论分块计算,复杂度为\(O(\sqrt{n}*\sqrt{n})=O(n)\)

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

#define ll long long
#define mem(Arr,x) memset(Arr,x,sizeof(Arr))

const int maxNum=100010;
const int inf=2147483647;

int Mu[maxNum];
ll Musum[maxNum];
int pricnt=0,Prime[maxNum];
bool notprime[maxNum];

void GetMu();
ll Calc(ll n,ll m);//内层数论分块求

int main()
{
    GetMu();
    ll n,m;
    scanf("%lld%lld",&n,&m);if (m<n) swap(n,m);
    ll ans=0;
    for (ll i=1,last;i<=n;i=last+1)
    {
        last=min(n/(n/i),m/(m/i));//外层数论分块
        ans=ans+(ll)(last+i)*(ll)(last-i+1)/2ll*Calc(n/i,m/i);
    }
    printf("%lld\n",ans*2-n*m);
    return 0;
}

void GetMu()//线性筛求mu
{
    Mu[1]=1;notprime[1]=1;
    for (int i=2;i<maxNum;i++)
    {
        if (notprime[i]==0) Prime[++pricnt]=i,Mu[i]=-1;
        for (int j=1;(j<=pricnt)&&((ll)i*(ll)Prime[j]<maxNum);j++)
        {
            notprime[i*Prime[j]]=1;
            if (i%Prime[j]==0) break;
            Mu[i*Prime[j]]=-Mu[i];
        }
    }
    for (int i=1;i<maxNum;i++) Musum[i]=Musum[i-1]+Mu[i];
    return;
}

ll Calc(ll n,ll m)
{
    if (n>m) swap(n,m);
    ll ret=0;
    for (ll i=1,last;i<=n;i=last+1)
    {
        last=min(n/(n/i),m/(m/i));
        ret=ret+(Musum[last]-Musum[i-1])*(ll)(n/i)*(ll)(m/i);
    }
    return ret;
}

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