[BZOJ4825/Luogu3721][AH2017/HNOI2017]单旋(LCT)

发布于 2018-01-25  10 次阅读


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Description

H国是一个热爱写代码的国家,那里的人们很小去学校学习写各种各样的数据结构。伸展树(splay)是一种数据结构,因为代码好写,功能多,效率高,掌握这种数据结构成为了H国的必修技能。有一天,邪恶的“卡”带着他的邪恶的“常数”来企图毁灭H国。“卡”给H国的人洗脑说,splay如果写成单旋的,将会更快。“卡”称“单旋splay”为“spaly”。虽说他说的很没道理,但还是有H国的人相信了,小H就是其中之一,spaly马上成为他的信仰。而H国的国王,自然不允许这样的风气蔓延,国王构造了一组数据,数据由m(不超过10^5)个操作构成,他知道这样的数据肯定打垮spaly,但是国王还有很多很多其他的事情要做,所以统计每个操作
所需要的实际代价的任务就交给你啦。数据中的操作分为5种:
插入操作:向当前非空spaly中插入一个关键码为key的新孤立节点。插入方法为,先让key和根比较,如果key比根小,则往左子树走,否则往右子树走,如此反复,直到某个时刻,key比当前子树根x小,而x的左子树为空,那就让key成为x的左孩子;或者key比当前子树根x大,而x的右子树为空,那就让key成为x的右孩子。该操作的代价为:插入后,key的深度。特别地,若树为空,则直接让新节点成为一个单个节点的树。(各节点关键码互不相等。对于“深度”的解释见末尾对spaly的描述。)
单旋最小值:将spaly中关键码最小的元素xmin单旋到根。操作代价为:单旋前xmin的深度。(对于单旋操作的解释见末尾对spaly的描述。)
单旋最大值:将spaly中关键码最大的元素xmax单旋到根。操作代价为:单旋前xmax的深度。
单旋删除最小值:先执行2号操作,然后把根删除。由于2号操作之后,根没有左子树,所以直接切断根和右子树的联系即可。(具体见样例解释)。操作代价同2号操作。
单旋删除最大值:先执行3号操作,然后把根删除。操作代价同3号操作。
对于不是H国的人,你可能需要了解一些spaly的知识,才能完成国王的任务:
spaly是一棵二叉树,满足对于任意一个节点x,它如果有左孩子lx,那么lx的关键码小于x的关键码。如果有右孩子rx,那么rx的关键码大于x的关键码。
一个节点在spaly的深度定义为:从根节点到该节点的路径上一共有多少个节点(包括自己)。
单旋操作是对于一棵树上的节点x来说的。一开始,设f为x在树上的父亲。如果x为f的左孩子,那么执行zig(x)操作(如上图中,左边的树经过zig(x)变为了右边的树),否则执行zag(x)操作(在上图中,将右边的树经过zag(f)就变成了左边的树)。每当执行一次zig(x)或者zag(x),x的深度减小1,如此反复,直到x为根。总之,单旋x就是通过反复执行zig和zag将x变为根。

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LCT

解决思路

肯定不能按照题目的意思写一棵\(spaly\),那么我们观察题目的性质,发现每一次都只是修改最小值和最大值。以最小值为例,把最小值\(x\)旋转到根其实只会修改\(x\)、\(x\)的右儿子(如果存在)、\(x\)的父亲和根这四个点,所以直接用\(LCT\)在相应的地方\(Link\)和\(Cut\)即可。而每一次的代价就是这个点到根的距离,在\(LCT\)中\(Split\ x\)和\(spaly\)的根就可以得到啦。
为了方便操作,我们可以在每一个点上在维护\(LCT\)的信息的基础上,维护一下它在\(spaly\)中的左右儿子和父亲,这样就可以直接修改啦。
至于插入的话,因为每一次插入都是插入到\(spaly\)中它的前驱的右儿子或是后继的左儿子,并且可以保证这两个位置一定有一个是空的。那么寻找前驱后继可以用\(Set\)维护值,每一次二分查找出第一个比它大的值,再用\(Map\)维护每一个值对应在\(LCT\)中的编号。
需要注意的是,每一个操作都要特殊判断一下当前点是否为\(spaly\)的根,否则会出错

代码

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