[BZOJ3884/Luogu4219]上帝与集合的正确用法(扩展欧拉定理)

发布于 2018-02-06  91 次阅读


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Description

根据一些书上的记载,上帝的一次失败的创世经历是这样的:
第一天, 上帝创造了一个世界的基本元素,称做“元”。
第二天, 上帝创造了一个新的元素,称作“α”。“α”被定义为“元”构成的集合。容易发现,一共有两种不同的“α”。
第三天, 上帝又创造了一个新的元素,称作“β”。“β”被定义为“α”构成的集合。容易发现,一共有四种不同的“β”。
第四天, 上帝创造了新的元素“γ”,“γ”被定义为“β”的集合。显然,一共会有16种不同的“γ”。
如果按照这样下去,上帝创造的第四种元素将会有65536种,第五种元素将会有2^65536种。这将会是一个天文数字。
然而,上帝并没有预料到元素种类数的增长是如此的迅速。他想要让世界的元素丰富起来,因此,日复一日,年复一年,他重复地创造着新的元素……
然而不久,当上帝创造出最后一种元素“θ”时,他发现这世界的元素实在是太多了,以致于世界的容量不足,无法承受。因此在这一天,上帝毁灭了世界。
至今,上帝仍记得那次失败的创世经历,现在他想问问你,他最后一次创造的元素“θ”一共有多少种?
上帝觉得这个数字可能过于巨大而无法表示出来,因此你只需要回答这个数对p取模后的值即可。
你可以认为上帝从“α”到“θ”一共创造了10^9次元素,或10^18次,或者干脆∞次。
一句话题意:
BZOJ3884

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BZOJ
Luogu

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扩展欧拉定理

解决思路

依照题意递归肯定是不行的(无线层诶)。首先想到的就是欧拉定理,即
\[x^a \quad mod \quad p=x^{a \quad mod \quad \phi(p)} \quad mod \quad p\]
当最后\(\phi(i)==1\)的时候,递归就结束了。
但这里给出的模数\(p\)并不一定是质数,所以这里要用到扩展欧拉定理,即
\[x^a \quad mod \quad b=x^{a \quad mod \quad \phi(b)+\phi(b)} \quad mod \quad b\]
那么根据这个求解即可。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;

#define ll long long
#define mem(Arr,x) memset(Arr,x,sizeof(Arr))

ll GetPhi(ll x);
ll Pow(ll cnt,ll Mod);
ll Calc(ll p);

int main()
{
    int T;scanf("%d",&T);
    while (T--)
    {
        int x;scanf("%d",&x);
        printf("%lld\n",Calc(x));//递归求解
    }
}

ll GetPhi(ll x)
{
    ll ret=x;
    for (ll i=2;i*i<=x;i++)
        if (x%i==0)
        {
            ret=ret/i*(i-1);
            while (x%i==0) x=x/i;
        }
    if (x!=1) ret=ret/x*(x-1);
    return ret;
}

ll Pow(ll cnt,ll Mod)
{
    ll x=2,ret=1;
    while (cnt)
    {
        if (cnt&1) ret=ret*x%Mod;
        x=x*x%Mod;
        cnt=cnt>>1;
    }
    return ret;
}

ll Calc(ll p)
{
    if (p==1) return 0;
    ll nowphi=GetPhi(p);
    return Pow(Calc(nowphi)+nowphi,p);
}

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