[BZOJ1064/Luogu1477][Noi2008]假面舞会(图论,gcd)

发布于 2018-02-20  177 次阅读


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Description

一年一度的假面舞会又开始了,栋栋也兴致勃勃的参加了今年的舞会。今年的面具都是主办方特别定制的。每个参加舞会的人都可以在入场时选择一 个自己喜欢的面具。每个面具都有一个编号,主办方会把此编号告诉拿该面具的人。为了使舞会更有神秘感,主办方把面具分为k (k≥3)类,并使用特殊的技术将每个面具的编号标在了面具上,只有戴第i 类面具的人才能看到戴第i+1 类面具的人的编号,戴第k 类面具的人能看到戴第1 类面具的人的编号。 参加舞会的人并不知道有多少类面具,但是栋栋对此却特别好奇,他想自己算出有多少类面具,于是他开始在人群中收集信息。 栋栋收集的信息都是戴第几号面具的人看到了第几号面具的编号。如戴第2号面具的人看到了第5 号面具的编号。栋栋自己也会看到一些编号,他也会根据自己的面具编号把信息补充进去。由于并不是每个人都能记住自己所看到的全部编号,因此,栋栋收集的信 息不能保证其完整性。现在请你计算,按照栋栋目前得到的信息,至多和至少有多少类面具。由于主办方已经声明了k≥3,所以你必须将这条信息也考虑进去。

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图论,gcd

解决思路

大致的思路就是找出图中所有的环,对所有的环长取\(gcd\)。但由于是有向图,不好直接找出所有的环及环长。那么把有向图变成带权无向图,原来\(u->v\)的这样一条边拆成两条边,\(u->v\)权值为\(1\),\(v->u\)权值为\(-1\),这样从原来某一个"联通块"的任意一点出发就可以遍历整个联通块,加上权值就可以得到每一个点对应的"深度",这个"深度"是相对的,因为有可能有负数。那么当我们从某一个点出发碰到了一个已经存在深度的点,说明我们碰到了一个"环",直接求\(gcd\)即可。由于深度可能为负,所以需要取\(abs\)。
最后需要注意的是,如果整张图中都不存在任意一个"环",那么此时的答案应该是每一个联通块的最长链之和。

代码

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