[BZOJ1064/Luogu1477][Noi2008]假面舞会(图论,gcd)

发布于 2018-02-20  72 次阅读


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Description

一年一度的假面舞会又开始了,栋栋也兴致勃勃的参加了今年的舞会。今年的面具都是主办方特别定制的。每个参加舞会的人都可以在入场时选择一 个自己喜欢的面具。每个面具都有一个编号,主办方会把此编号告诉拿该面具的人。为了使舞会更有神秘感,主办方把面具分为k (k≥3)类,并使用特殊的技术将每个面具的编号标在了面具上,只有戴第i 类面具的人才能看到戴第i+1 类面具的人的编号,戴第k 类面具的人能看到戴第1 类面具的人的编号。 参加舞会的人并不知道有多少类面具,但是栋栋对此却特别好奇,他想自己算出有多少类面具,于是他开始在人群中收集信息。 栋栋收集的信息都是戴第几号面具的人看到了第几号面具的编号。如戴第2号面具的人看到了第5 号面具的编号。栋栋自己也会看到一些编号,他也会根据自己的面具编号把信息补充进去。由于并不是每个人都能记住自己所看到的全部编号,因此,栋栋收集的信 息不能保证其完整性。现在请你计算,按照栋栋目前得到的信息,至多和至少有多少类面具。由于主办方已经声明了k≥3,所以你必须将这条信息也考虑进去。

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图论,gcd

解决思路

大致的思路就是找出图中所有的环,对所有的环长取\(gcd\)。但由于是有向图,不好直接找出所有的环及环长。那么把有向图变成带权无向图,原来\(u->v\)的这样一条边拆成两条边,\(u->v\)权值为\(1\),\(v->u\)权值为\(-1\),这样从原来某一个"联通块"的任意一点出发就可以遍历整个联通块,加上权值就可以得到每一个点对应的"深度",这个"深度"是相对的,因为有可能有负数。那么当我们从某一个点出发碰到了一个已经存在深度的点,说明我们碰到了一个"环",直接求\(gcd\)即可。由于深度可能为负,所以需要取\(abs\)。
最后需要注意的是,如果整张图中都不存在任意一个"环",那么此时的答案应该是每一个联通块的最长链之和。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

#define ll long long
#define mem(Arr,x) memset(Arr,x,sizeof(Arr))

const int maxN=100100;
const int maxM=1001000*2;
const int inf=2147483647;

int n,m;
int edgecnt=0,Head[maxN],Next[maxM],V[maxM],W[maxM];
bool vis[maxN];
int Depth[maxN],Queue[maxN],Fa[maxN];

void Add_Edge(int u,int v,int w);
int gcd(int a,int b);

int main()
{
    mem(Head,-1);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        int a,b;scanf("%d%d",&a,&b);
        Add_Edge(a,b,1);Add_Edge(b,a,-1);//添加正反两条边
    }
    int length=0,chain=0;//length记录当前所有环长的gcd,chain记录每一个联通块的最长链之和
    for (int i=1;i<=n;i++)
        if (vis[i]==0)//对每一个联通块Bfs求解
        {
            Depth[i]=0;
            int h=1,t=0;Queue[1]=i;vis[i]=1;
            int mx=-inf,mn=inf;//mx和mn分别记录深度的最大值和最小值
            do
            {
                int u=Queue[++t];mx=max(mx,Depth[u]),mn=min(mn,Depth[u]);
                for (int i=Head[u];i!=-1;i=Next[i])
                {
                    if (V[i]==Fa[u]) continue;
                    if (vis[V[i]]==0) vis[Queue[++h]=V[i]]=1,Depth[V[i]]=Depth[u]+W[i],Fa[V[i]]=u;//当这个点还没有被访问,则访问
                    else//否则,说明找到了一个环,更新答案
                    {
                        if (length==0) length=abs(Depth[u]-Depth[V[i]]+W[i]);
                        else length=gcd(length,abs(Depth[u]-Depth[V[i]]+W[i]));
                    }
                }
            }
            while (h!=t);
            chain=chain+mx-mn+1;
        }
    if (length==0)//整图无环
    {
        if (chain<3) printf("-1 -1\n");
        else printf("%d 3\n",chain);
    }
    else//有环
    {
        if (length<3) printf("-1 -1\n");
        else
        {
            printf("%d ",length);//最大值就为环长gcd
            for (int i=3;i<=length;i++) if (length%i==0) {length=i;break;}
            printf("%d\n",length);//最小值为环长的最小因数
        }
    }
    return 0;
}

void Add_Edge(int u,int v,int w)
{
    edgecnt++;Next[edgecnt]=Head[u];Head[u]=edgecnt;V[edgecnt]=v;W[edgecnt]=w;
    return;
}

int gcd(int a,int b)
{
    int tmp;
    while (b) tmp=b,b=a%b,a=tmp;
    return a;
}

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