[BZOJ1143][CTSC2008]祭祀river(二分图)

发布于 2018-02-20  10 次阅读


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Description

在遥远的东方,有一个神秘的民族,自称Y族。他们世代居住在水面上,奉龙王为神。每逢重大庆典, Y族都会在水面上举办盛大的祭祀活动。我们可以把Y族居住地水系看成一个由岔口和河道组成的网络。每条河道连接着两个岔口,并且水在河道内按照一个固定的方向流动。显然,水系中不会有环流。由于人数众多的原因,Y族的祭祀活动会在多个岔口上同时举行。出于对龙王的尊重,这些祭祀地点的选择必须非常慎重。准确地说,Y族人认为,如果水流可以从一个祭祀点流到另外一个祭祀点,那么祭祀就会失去它神圣的意义。族长希望在保持祭祀神圣性的基础上,选择尽可能多的祭祀的地点。

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二分图

题目大意

给定一个\(DAG\)求最长反链。

解决思路

首先给出定义,\(DAG\)上的链指的是一个点的集合,这个点的集合满足其中任意两个点\(u,v\),要么\(u\)能到\(v\),要么\(v\)能到\(u\)。
那么反链就是指的一个点集使得其中任意两个点\(u,v\)都不能互相可达。
最长反链=最小链覆盖,最小链覆盖就是用最少的链使得图中每一个点都遍历到。这个证明可以参考vfk的博客
那么怎么求最小链覆盖呢?最小链覆盖就是可以重复经过点的最小路径覆盖,而最小路径覆盖可以通过二分图建模的方式解决。
具体来说,对于原图的一个点\(i\),拆成两个点\(i,i'\),对于原图的一条边\(u->v\),变成边\(u->v'\),这样构成二分图。那么,总点数-最大匹配就是最小路径覆盖。为什么呢?可以想象开始的时候有\(n\)个点,就有\(n\)条路径来覆盖,每在二分图中选择了一条边\(u->v'\),相当于把以\(u\)结尾的路径和与\(v\)开头的两条路径合并,又因为是最大匹配,所以不可能有路径相交,所以最大匹配数就是合并次数,总点数-合并次数就是最小路径覆盖。
那么如何从最小路径覆盖变成最小链覆盖呢?我们观察发现,用路径覆盖图的时候,有可能一条路径把另一条切断了,那么为了实现链覆盖,我们需要有一条在这条链上的边"跨过"这一条路径。没错,就是对每一个点求出它能到的点和能到它的点。这个就是传递闭包,可以用\(Floyed\)实现。
所以,为了把链覆盖转化为求路径覆盖,可以传递闭包后再在新图上求二分图最大匹配。
这里用匈牙利算法求二分图最大匹配。

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