关于回文树的理解 by yyb

发布于 2018-02-22  256 次阅读


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前言

这段时间搞字符串上了瘾?
看起来是的
那就继续搞吧

Part1一些名词

回文串

不想解释什么意思

回文子串

一个串的子串,它是回文串,那么它就是回文子串

最长回文后缀

对于一个长度小于自己的后缀,如果它是回文串,并且不存在比它更长的回文后缀,那么它就是最长回文后缀

最长回文前缀

基本和上面一样

Part2 回文树的形态

长成啥样啊?

我们很容易知道,回文串有两种,一种长度是奇数,一种长度是偶数
而在回文树上走,我们肯定不是一次只在后面添加一个字符
显然是在前后各添加一个字符
所以我们不难得出一点,如果串可以变成另外一个回文串
那么它的长度一定加上了一个偶数
所以在回文树上,为了区分这两种不同的回文串
所以回文树相当于一个森林
有两棵树,一棵的代表长度为奇数的回文串,另一棵代表长度为偶数的回文串

就像后缀自动机,Trie树,AC自动机这些东西一样
每一个节点代表的都是一个(些)串
回文树的每个节点也是代表着一个串
对于每个点的转移,比如说
对于某个点代表的回文串"aba"
假如它有一个'c'的转移
那么,"aba"就会指向一个代表着"cabac"的串

同样的,类似于AC自动机有$$fail$$,后缀自动机有$$parent$$
当失配的时候回文树也有$$fail$$向上跳
那么,我们来考虑一些这个东西是什么?

假设当前加入的位置是$$r$$
如果之前已经匹配出了一个回文$$S_{l..r-1}$$
那么,如果有$$S_{l-1}=S_r$$就没有失配
如果失配了,因为$$r$$位置是不能变动的
所以挪动的只有$$l$$位置
而$$S_{l..r}$$显然也要是一个回文串
所以$$l$$挪动到的位置就是$$S_{l..r-1}$$的最长回文后缀的开始位置

一些小小的结论

综上所述,我们知道了两点:
1.对于回文树上的两个节点,如果存在字符c的连边,那么,就会从串x,变成cxc
2.对于回文树上的失配(fail)指针,指向这个点所代表的字符串的最长回文后缀所在的节点

一些小小的证明

接下来,我们还可以知道几点
1.对于任何一个串S,它的本质不同的回文串的个数不会超过|S|个
2.如果在串S后面加入一个字符,新增的本质不同的回文串的个数不会超过1个

怎么证明?

利用数学归纳法来证明

当$$|S|=1$$时,显然成立

如果我们知道$$|S|=x-1$$时成立,现在插入$$x$$位置,字符为$$c$$
如果以$$x$$位置结尾出现了两个新的本质不同的回文串
假设较长的从$$l1$$开始,较短的从$$l2$$开始
因为$$|S_{l1..r}|>|S_{l2..r}|$$
又根据回文串对称的性质
所以$$S_{l2..r}$$在$$S_{l1..l1+r-l2}$$必定出现过
所以不存在两个本质不同的回文串
所以最多新增一个本质不同的回文串
所以到$$x$$位置出现的本质不同的回文串的个数最多为$$x$$个

同时,我们也证明了每次插入一个新的字符,最多增加一个本质不同的回文子串

Part3 回文树的构造

看完了上面,应该就知道了回文树上的东西代表着什么
我们的构造采用增量法,也就是类似于后缀自动机的$$extend$$

假设前面已经构造出了$$1..x-1$$的回文树,现在要加入第$$x$$个字符$$c$$
因为要接在$$x-1$$的后面,我们又知道最多一个产生一个新的本质不同的回文串
也就是$$S_{1..x-1}$$中,最长的某个回文后缀$$S_{l..x-1}$$,
同时能够满足$$S_{l-1}=S_x$$
因为只需要不停地寻找最长回文后缀

根据回文树上的$$fail$$指针的含义
我们很容易知道知道,
只需要从上一个位置添加完之后的最后一个位置
(也就是以$$x-1$$为结束位置的最长回文子串)
所代表的节点开始,沿着$$fail$$一路上跳
检查是否满足$$S_{l-1}=S_x$$就行了

假设这样找到的一个位置是$$p$$
不难证明这个位置$$p$$一定存在(为啥?长度为1的回文串呀)
如果$$p.son[c]$$也就是连边$$c$$已经存在
那就什么都不用干,因为这个回文子串已经存在过
不需要重新建边
否则,重新建一个点表示这个回文子串,假设点是$$np$$吧
然后$$p.son[c]=np$$

现在我们要找$$np$$的$$fail$$啦
因为要找的是最长回文后缀,不能是自己
所以令$$k=p.fail$$
然后就像前面一样的,找到第一个满足$$S[l_k-1]=S[n]$$的点
让$$k$$沿着$$fail$$向上跳
然后$$np.fail=k$$,表示找到啦

这样,我们的回文树就利用增量法构建出来啦

当然,两棵树的根节点的长度分别是$$-1$$和$$0$$
然后为$$0$$的根节点的$$fail$$连向$$-1$$的根节点
$$-1$$个根节点的$$fail$$也连向自己
为啥?自己想
初始情况下的$$last=0,tot=1$$(代表什么可以参考程序)

这是一棵回文树

Part4 后记

这篇博客十分简短
因此肯定有很多很多不严谨的地方
更加详细的请参考
国家集训队$$2017$$年的论文

当然了,这些东西也只是我自己的理解
而回文树也有很多很神奇的用法,
等我做了一些题之后我会再回来写的。

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我是蒟蒻yyb 我太弱了 我还要多切大火题 我才能变得像zsy那么优秀