[BZOJ2734/Luogu3226][HNOI2012]集合选数(状态压缩动态规划,构造)

发布于 2018-03-29  103 次阅读


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Description

《集合论与图论》这门课程有一道作业题,要求同学们求出{1, 2, 3, 4, 5}的所有满足以 下条件的子集:若 x 在该子集中,则 2x 和 3x 不能在该子集中。同学们不喜欢这种具有枚举性 质的题目,于是把它变成了以下问题:对于任意一个正整数 n≤100000,如何求出{1, 2,..., n} 的满足上述约束条件的子集的个数(只需输出对 1,000,000,001 取模的结果),现在这个问题就 交给你了。

Tag

状态压缩动态规划,构造

解决思路

构造一个矩阵,左上角是1,接下来每一个数是它左边的数的2倍,上面的数的3倍。这样问题转化为在矩阵中选择若干个不相邻的方案数。
由于是乘法,矩阵的长宽都是\(log\)级别的,所以可以状态压缩动态规划求解 。
但是可以发现,有一些数是没有出现在这个矩阵中的,所以我们再选择一个没有在矩阵中出现的最小的数,作为新的矩阵的左上角,再进行动态规划。直到所有数都在矩阵中出现过。由于各矩阵是互相独立的,所以是把方案数相乘。

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