[BZOJ3997/Luogu3974][TJOI2015]组合数学(动态规划)

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Description

给出一个网格图,其中某些格子有财宝,每次从左上角出发,只能向下或右走。问至少走多少次才能将财宝捡完。此对此问题变形,假设每个格子中有好多财宝,而每一次经过一个格子至多只能捡走一块财宝,至少走多少次才能把财宝全部捡完。

Tag

动态规划

解决思路

把网格图转化成为一个\(DAG\),那么现在的问题就是,求用最少的链来覆盖所有的点。注意是链而不是路径,因为链只要求相邻的两个点有边到达而不要求直接相连。
然后由最小链覆盖=最长反链。反链的定义是对于反链上的u->v,u不能到v,v也不能到u。
然后,网络流?
注意网格图的性质,可以不用网络流。有点类似平面图转对偶图的思路,网格图上的反链是有一定规律的。设F[i][j]表示以(i,j)为左下角的网格中的最长反链。因为(i,j)(i-1,j),(i,j+1)直接相连,而与(i-1,j+1)不直接相连,所以有转移式
F[i][j]=max(F[i-1][j],F[i][j+1],F[i-1][j+1]+Val[i][j])

代码

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