[BZOJ3997/Luogu3974][TJOI2015]组合数学(动态规划)

发布于 2018-05-07  62 次阅读


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Description

给出一个网格图,其中某些格子有财宝,每次从左上角出发,只能向下或右走。问至少走多少次才能将财宝捡完。此对此问题变形,假设每个格子中有好多财宝,而每一次经过一个格子至多只能捡走一块财宝,至少走多少次才能把财宝全部捡完。

Tag

动态规划

解决思路

把网格图转化成为一个\(DAG\),那么现在的问题就是,求用最少的链来覆盖所有的点。注意是链而不是路径,因为链只要求相邻的两个点有边到达而不要求直接相连。
然后由最小链覆盖=最长反链。反链的定义是对于反链上的u->v,u不能到v,v也不能到u。
然后,网络流?
注意网格图的性质,可以不用网络流。有点类似平面图转对偶图的思路,网格图上的反链是有一定规律的。设$F[i][j]$表示以$(i,j)$为左下角的网格中的最长反链。因为$(i,j)$与$(i-1,j),(i,j+1)$直接相连,而与$(i-1,j+1)$不直接相连,所以有转移式
$$F[i][j]=max(F[i-1][j],F[i][j+1],F[i-1][j+1]+Val[i][j])$$

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

#define ll long long
#define mem(Arr,x) memset(Arr,x,sizeof(Arr))

const int maxN=1010;
const int inf=2147483647;

int n,m;
ll Arr[maxN][maxN],F[maxN][maxN];

int main()
{
    int T;scanf("%d",&T);
    while (T--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for (int i=1;i<=n;i++) for (int j=1;j<=m;j++) scanf("%lld",&Arr[i][j]);
        mem(F,0);
        for (int i=1;i<=n;i++) for (int j=m;j>=1;j--) F[i][j]=max(F[i-1][j+1]+Arr[i][j],max(F[i-1][j],F[i][j+1]));
        printf("%lld\n",F[n][1]);
    }
    return 0;
}

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